1. Литиевую мишень бомбардируют -частицами с кинетической энергией . В результате реакции , МэВ из мишени вылетают нейтроны. Найти:

   a) кинетические энергии нейтронов, вылетающих под углами , и к направлению движения бомбардирующих -частиц, если МэВ;

   б) при каких значениях нейтроны будут испускаться только в переднюю полусферу ()?

   Ответ

   а) Кинетические энергии нейтронов, вылетающих под углами , и , равны соответственно МэВ, МэВ, МэВ;

   б) вылет нейтрона в переднюю полусферу будет иметь место в том случае, когда его величина импульса переносного движения не меньше величины импульса в системе центра масс. Это условие удовлетворяется при МэВ. Поскольку рассматриваемая реакция является эндоэнергетической, ограничение на полученные возможные значения кинетических энергий -частиц следует дополнить условием , где порог реакции МэВ.

2. Ядро лития возбуждается пучком протонов, падающих на неподвижную литиевую мишень. При этом происходит реакция . При каких отношениях кинетической энергии налетающего протона к энергии возбуждения лития возможно возникновение протонов, движущихся в обратном к потоку направлению?

   Ответ

   Отношение кинетической энергии налетающего протона к энергии возбуждения ядра лития должно быть больше величины , где , – масса протона и ядра соответственно.

3. Проанализировать функциональную зависимость углов вылета вторичных частиц в лабораторной системе отсчета от их углов вылета в системе центра масс для реакций типа , . При какой кинетической энергии протона нейтроны могут наблюдаться под любыми углами?

   Ответ

   Для расчета импульсов вторичных частиц в нерелятивистском приближении положим , , где , – массы протона и нейтрона соответственно, , – массы ядер и . Поскольку реакция является эндоэнергетической, величина импульсов вторичных частиц в системе центра масс не может превысить или равняться части импульса ядра , связанного с движением центра масс относительно лабораторной системы отсчета, т.е. на диаграмме импульсов отрезок (нейтрон выбран в качестве первой частицы). Отсюда следует, что зависимость угла вылета ядра в л-системе от его угла вылета в ц-системе не будет являться монотонной: с ростом угол сначала растет, достигая максимального значения ( – суммарная масса начальных частиц, – кинетическая энергия протонов), а затем падает до нуля. Такое поведение функции обуславливает двузначность функции .

   Величина отрезка диаграммы в зависимости от энергии падающего протона находится в разном соотношении с длиной отрезка . Если кинетическая энергия протона , угол вылета нейтрона в л-системе будет возрастающей функцией его угла вылета в ц-системе : при изменении от до угол (, т.е. ) или (, ). В том случае, если , зависимость не монотонна: с ростом увеличение угла до некоторого максимального значения сменяется его уменьшением до .

   При энергии падающего протона, равной пороговой энергии реакции, абсолютная величина вектора равна нулю, что соответствует движению вторичных частиц в направлении падения протона со скоростями, равными скорости движения их центра масс относительно лабораторной системы отсчета.

4. Нарисуйте все возможные импульсные диаграммы двучастичной эндоэнергетической ядерной реакции, идущей под действием более легкой, в сравнении с частицей мишени, падающей частицы.

   Ответ

   Если в качестве первой вторичной частицы выбрана частица с массой , то все возможные импульсные диаграммы будут характеризоваться следующими соотношениями между величинами отрезков , и : для случая возможно при и при , – кинетическая энергия падающей частицы, – энергия реакции; , , но , если и , либо при и ; при любом соотношении масс частиц, участвующих в реакции и , но большей или равной пороговой энергии реакции .

   Диаграммы с соответствуют случаю .

5. Реакция является удобным источником нейтронов известной энергии в интервале – МэВ и выше. Для изменения энергии нейтронов можно менять энергию первичных протонов и угол наблюдения. При какой минимальной энергии протонов возможна эта реакция? Какова связь между энергиями нейтрона и протона в лабораторной системе отсчета и системе центра масс?

   Ответ

   Поскольку реакция является эндоэнергетической ( МэВ), она возможна при энергии падающего нейтрона, равной или превышающей МэВ.

   В системе центра масс сталкивающихся частиц связь кинетических энергий протона и нейтрона дается следующим соотношением:

   ,

   где – приведенная масса начальных частиц (, – массы протона и ядра соответственно), – приведенная масса продуктов реакции (, – массы протона и ядра ). Полагая в конечной формуле , получим

   .

   В лабораторной системе отсчета связь кинетических энергий нейтрона и протона следующая:

   ,

   где – угол вылета нейтрона в л-системе относительно импульса падающего протона. Подставляя массы частиц, последнее выражение перепишется в виде:

   .

   Полученная зависимость имеет место для энергий протонов . Если же кинетическая энергия протона такова, что , зависимость является двузначной:

   

   или

   ,

   угол . На диаграмме импульсов рассматриваемый случай соответствует следующему соотношению между отрезками , и : (в качестве первой образовавшейся частицы выбран нейтрон).

   Кинетическая энергия нейтрона как функция энергии протона в л-системе и угла вылета нейтрона в ц-системе имеет вид:

   

   или

   .

6. Найти кинетические энергии нейтронов, при которых дейтроны реакции могут вылетать в -геометрии, а тритоны – только в переднюю полусферу относительно направления падающих нейтронов.

   Ответ

   Кинетическая энергия нейтронов должна быть больше МэВ, но меньше либо равной МэВ.

7. Какая минимальная кинетическая энергия возможна для каждого из продуктов двучастичной эндоэнергетической реакции, вызываемой меньшей по массе частицей, в лабораторной системе отсчета? При какой кинетической энергии падающей частицы вторичные частицы могут принимать эти значения? Рассчитать также для каждого из этих случаев суммарную кинетическую энергию образовавшихся частиц и убедиться, что она больше суммы их кинетических энергий при пороговом значении энергии реакции.

   Ответ

   Если массы частиц, участвующих в реакции, удовлетворяют условию (штрихованными буквами обозначены массы вторичных частиц, и выбрано ), как для более тяжелой, так и для более легкой образующихся в реакции частиц минимальное значение кинетических энергий . Более массивная вторичная частица может находиться в покое в л-системе при энергии налетающей частицы . Это имеет место, если рассматриваемая частица вылетает под углом относительно направления падения первичной частицы в системе центра масс (при этом более легкая частица движется в направлении импульса как в ц- так и в л-системах отсчета и имеет максимально возможную кинетическую энергию при данном значении ).

   Частица с массой принимает равное нулю значение кинетической энергии, если и ее угол вылета в ц-системе равен . Для более легкой частицы данная ситуация характерна и тогда, когда .

   Если массы вторичных частиц равны, при энергии налетающей частицы они обе могут находиться в покое в лабораторной системе отсчета (но не одновременно).

8. Нарисуйте все возможные диаграммы экзоэнергетической реакции, вызываемой меньшей по массе падающей частицей (в сравнении с массой частицы мишени). Сделайте общий анализ функциональных зависимостей кинематических характеристик вторичных частиц в лабораторной системе отсчета от углов их вылета в л- и ц-системах отсчета.

   Ответ

   Анализируя относительную длину отрезков , и ( – импульс падающей частицы, , – массы вторичных частиц, причем выбрано , , – приведенные массы начальных и конечных частиц реакции соответственно) в зависимости от соотношения масс частиц, участвующих в реакции, а также принимая во внимание тот факт, что для экзоэнергетической реакции величина импульсов вторичных частиц в системе центра масс – отрезок – всегда больше , можно видеть, что все возможные импульсные диаграммы будут характеризоваться неравенством . При этом , если и кинетическая энергия падающей частицы удовлетворяет неравенству . При таком же соотношении масс частиц может быть и , если . В том случае, когда при любой кинетической энергии падающей частицы. Последнее утверждение включает в себя и конечное состояние реакции, когда .

   Таким образом, для более легкой вторичной частицы экзоэнергетической реакции с и в некоторых случаях для более тяжелой (точка диаграммы находится внутри окружности радиуса ) имеют место однозначная и монотонная зависимость угла вылета каждой из частиц в лабораторной системе отсчета от угла ее вылета в системе центра масс, а также однозначная зависимость кинетической энергии каждой частицы в л-системе от угла ее вылета в этой же системе отсчета. Последний может изменяться в диапазоне от до .

   Все вышеперечисленное всегда имеет место для вторичных частиц, массы которых равны.

   Когда для более тяжелой вторичной частицы точка диаграммы находится вне окружности радиуса , зависимость угла ее вылета в л-системе от угла вылета в ц-системе однозначна, но не монотонна, а зависимость кинетической энергии от угла вылета в лабораторной системе отсчета двузначна. При этом возможные углы вылета рассматриваемой частицы в л-системе изменяются от до .

9. Известно, что угол упругого рассеяния более тяжелой налетающей частицы в лабораторной системе отсчета как функция ее угла рассеяния в системе центра масс имеет немонотонный характер. Множество значений указанной функции принадлежит отрезку . В случае ядерной реакции, идущей под действием более тяжелой частицы (в сравнении с массой частицы мишени), всегда ли хотя бы для одной вторичной частицы будет иметь место описанное выше поведение функции ? В реакции с каким энерговыделением обе зависимости и могут быть двузначными?

   Ответ

   Для экзоэнергетической реакции, вызываемой более тяжелой частицей, при энергиях налетающей частицы, не превышающих величины (для вторичных частиц выбрали нумерацию так, что ), зависимости углов вылета продуктов реакции в лабораторной системе отсчета от их углов вылета в системе центра масс – однозначные, монотонные функции, причем, если кинетическая энергия падающей частицы строго меньше указанной величины, вторичные частицы могут вылетать под разными углами (на диаграмме импульсов последний случай соответствует тому, что обе точки и лежат внутри окружности радиуса – величины импульсов продуктов реакции в ц-системе).

   Вне зависимости от соотношения масс частиц, участвующих в реакции (но при рассматриваемом условии ), а также кинетической энергии падающей частицы немонотонный характер зависимости угла вылета вторичной частицы в лабораторной системе отсчета от угла ее вылета в системе центра масс имеет место для более тяжелой образующейся частицы эндоэнергетичесой реакции или для обеих вторичных частиц равной массы указанного типа реакций.

   Двузначность функций и , описывающих зависимости угла вылета одной из вторичных частиц в ц-системе от углов вылета каждой из этих частиц в л-системе, когда массы начальных частиц реакции удовлетворяют неравенству , может иметь место как для экзоэнергетической, так и для эндоэнергетической реакции.

   Для реакций с положительным энерговыделением при кинетической энергии падающей частицы (при этом массы частиц, участвующих в реакции, должны удовлетворять условию , где ) зависимости и не являются монотонными: с ростом угла вылета первой вторичной частицы в ц-системе углы вылета продуктов реакции в л-системе и сначала растут, достигая максимума, а потом убывают до . Поэтому обратные им функции являются двузначными.

   В реакциях с немонотонность функций и возможна при любых соотношениях между массами частиц, участвующих в реакции (но в рамках условия ). Так, если (выбрали ), интересующий нас случай имеет место при энергиях падающей частицы (но больше пороговой). Если же , функции и являются двузначными при любой, больше пороговой, кинетической энергии налетающей частицы (сюда же относится случай ).

>>Задачи для аудиторной работы

Оглавление <<