Задача 1. Найти порог эндоэнергетической ядерной реакции в системе отсчета покоящейся частицы мишени.

Решение. Получение общего выражения для порога эндоэнергетической реакции удобно проводить, рассматривая процесс как в лабораторной системе отсчета, так и в системе центра масс. В общем случае произвольных кинетических энергий частиц для перехода из одной системы отсчета в другую целесообразно использовать релятивистский инвариант¹ , где и – суммарные полная энергия и импульс некоторой совокупности частиц.

Законы сохранения энергии и импульса частиц, участвующих в реакции, в лабораторной системе отсчета и системе их центра масс записываются в следующем виде:

,

,

Первичной частицей под номером 1 выбрана падающая в лабораторной системе отсчета частица. Соответственно, первичной частицей под номером 2 является частица, покоящаяся до взаимодействия в этой же системе отсчета. В качестве нижнего индекса в характеристиках этих частиц указан соответствующий номер частицы. Характеристики же вторичных частиц, кроме нижнего индекса, определяемого произвольной нумерацией этих частиц, помечены штрихами. При этом для сокращения записи выражений указанные нижние индексы для частиц-продуктов реакции не используются, а операция суммирования по указанным частицам записана с использованием значка суммы . Буква в верхнем индексе величин помечает кинетические энергии и импульсы частиц в системе центра инерции.

Инвариантность величины позволяет приравнять ее значения для первичных частиц в лабораторной системе отсчета и системе центра масс:

.

В свою очередь, суммарная полная энергия начальных частиц в системе центра масс равна суммарной полной энергии вторичных частиц в этой же системе отчета. Поэтому

.

Квадрат импульса релятивистской частицы связан с ее кинетической энергией посредством равенства (см. и ) поэтому после раскрытия скобок в левой части последнего соотношения, имеем

.

Порог реакции в системе отсчета покоящейся частицы мишени равен минимально возможному значению кинетической энергии падающей частицы . Этот минимум, как нетрудно видеть из последнего равенства, достигается тогда, когда суммарная кинетическая энергия вторичных частиц в системе центра масс минимальна. Поскольку – неотрицательная величина, ее минимально возможное значение для эндоэнергетической реакции равно нулю². Поэтому

.

Откуда

где .

Иногда вместо этой формулы используется эквивалентное ей выражение

где энергия реакции . Для реакций с участием ядер и нуклонов , где ─ избытки масс соответствующих нейтральных атомов.

Для получения выражения для порога эндоэнергетической реакции в случае нерелятивистского движения частиц, а также для отыскания условия его применимости, переход из лабораторной системы отсчета в систему центра масс и наоборот следует проводить с помощью преобразований Галилея . Связь импульсов падающей частицы до взаимодействия в указанных системах отсчета имеет вид (см. также )

где скорость центра масс начальных частиц .

Суммарная кинетическая энергия первичных частиц в системе центра масс

откуда

Закон сохранения полной энергии в системе центра масс

позволяет связать кинетическую энергию падающей частицы в лабораторной системе отсчета с суммарной кинетической энергией вторичных частиц в их системе центра масс. Для эндоэнергетической реакции

Подобно релятивистскому случаю, минимальное значение кинетической энергии (порог реакции в лабораторной системе отсчета) достигается тогда, когда , т.е. вторичные частицы находятся в покое. Поэтому

Сравнивая формулы для пороговой энергии в общем, релятивистском случае, и в нерелятивистском пределе, видно, что величина в выражении для порога связана с релятивистским движением частиц, и ею можно пренебречь, когда модуль энерговыделения много меньше меньшей из двух величин и : (), () либо ().

Слагаемое в обеих рассматриваемых формулах появляется в следствие перехода из системы центра масс в лабораторную систему отсчета. Оно увеличивает значение порога в связи с затратой энергии падающей частицей на движение центра масс.

Ответ. Порог эндоэнергетической реакции в системе отсчета покоящейся частицы мишени . Его нерелятивистский предел есть

>>Примеры решения задач. Задача 2

Оглавление <<

1. Релятивистский инвариант – величина, которая остается неизменной при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
2. И это не приводит к нарушению закона сохранения энергии и противоречию с возможной картиной движения частиц в их системе центра инерции. Действительно, согласно закону сохранения энергии , а из неотрицательности величин кинетических энергий каждой из частицы и условия , следует, что все вторичные частицы в рассматриваемой системе отсчета находятся в покое, значит и величины их импульсов равны нулю, следовательно и векторная сумма импульсов есть нулевой вектор. Это же значение должен принимать суммарный импульс движущихся первичных частиц. Так оно и есть, поскольку рассматриваемая система отсчета – система центра инерции. Подчеркнем, что в лабораторной системе отсчета неподвижность вторичных частиц нарушает закон сохранения импульса.